【题目】已知函数.
(1)确定函数在定义域上的单调性,并写出详细过程;
(2)若在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定单调性(2)调整不等式为在
上恒成立.再利用导数研究函数单调性:当
时,函数
单调递增,最大值趋于正无穷 ,不符题意;当
时,函数
先增再减,最大值为
,满足题意;当
时,最大值大于
,不符题意
试题解析:(1)函数的定义域为
,
令,则有
,
令,解得
,
所以在上,
,
单调递增,在
上,
,
单调递减.
又,所以
在定义域上恒成立.
即在定义域上恒成立,
所以在
上单调递减,在
上单调递减.
(2)由在
上恒成立得:
在
上恒成立.
整理得: 在
上恒成立.
令,易知,当
时,
在
上恒成立不可能,
,
又,
,
1°当时,
,又
在
上单调递减,所以
在
上恒成立,则
在
上单调递减,又
,所以
在
上恒成立.
2°当时,
,
,又
在
上单调递减,
所以存在,使得
,
所以在上
,在
上
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
又,所以
在
上恒成立,
所以在
上恒成立不可能.
综上所述, .
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,制作工艺十分复杂,它的制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品,根据该厂全面治污后的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为,
,
,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为
,
,
.
(1)求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率;
(2)经过前后两次烧制后,甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为,求随机变量
的数学期望.
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【题目】(本题满分14分)如图,已知椭圆:
,其左右焦点为
及
,过点
的直线交椭圆
于
两点,线段
的中点为
,
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点,且
、
、
构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记△的面积为
,△
(
为原点)的面积为
.试问:是否存在直线
,使得
?说明理由.
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【题目】已知矩阵将直线l:x+y-1=0变换成直线l′.
(1)求直线l′的方程;
(2)判断矩阵A是否可逆?若可逆,求出矩阵A的逆矩阵A-1;若不可逆,请说明理由.
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【题目】某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间
个月的二次函数
(
是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.
(1)求前8个月的累计生产净收入的值;
(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
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【题目】已知圆锥曲线:
(
为参数)和定点
,
,
是此圆锥曲线
的左、右焦点.
(1)以原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线
的极坐标方程;
(2)经过且与直线
垂直的直线交此圆锥曲线
于
,
两点,求
的值.
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【题目】一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球,从中随机取出1个球,取出红球的概率为,取出黑球的概率为
,取出白球的概率为
,取出绿球的概率为
.求:
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.
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【题目】如图是函数在区间
上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=sinx的图象
A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
B. 向左平移至个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
C. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的
,纵坐标不变
D. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
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