Question

17、已知数列{a_n}前n项和为S_n且2a_n-S_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n（n≥1），求{b_n}通项公式及前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知2a_n+1-2a_n-（S_n+1-S_n）=0．所以a_n+1=2a_n．再由2a₁-S₁=2知a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可知{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题意知b_n+1-b_n=2ⁿ，所以b₂-b₁=2，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，，b_n-b_n-1=2^n-1，故b_n=2ⁿ-1，由此可知T_n=（2+2²++2^n-1+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-（n+2）．

解答：解：（Ⅰ）∵2a_n-S_n=2，∴2a_n+1-S_n+1=2
两式相减得2a_n+1-2a_n-（S_n+1-S_n）=0．∴a_n+1=2a_n．
又n=1时，2a₁-S₁=2．∴a₁=2
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列（3分）
∴a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n，∴b_n+1-b_n=2ⁿ（8分）
∴b₂-b₁=2，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，，b_n-b_n-1=2^n-1
相加，b_n-b₁=2+2²+2³++2^n-1，∵b₁=1，
∴b_n=1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1）
即b_n=2ⁿ-1（12分）
∴T_n=（2+2²++2^n-1+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-（n+2）（14分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．