Question

14．如图，圆内接四边形ABEC的对角线AE与BC交于点D，且∠BAE=∠CAE．证明：
（1）△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$AD•AE，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 （1）两组对应角相等，可得△ABE∽△ADC；
（2）利用△ABE∽△ADC，可得$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，即AB•AC=AD•AE，利用△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$AD•AE，即可求∠BAC的大小．

解答 证明：（1）∵∠BAE=∠CAE，∠DCA=∠BEA，
∴△ABE∽△ADC；
（2）∵△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，
即AB•AC=AD•AE．
又S=$\frac{1}{2}$AB•ACsin∠BAC，且S=$\frac{1}{2}$AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
∴∠BAC=90°

点评 本题考查三角形相似的证明，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．