Question

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%．现有三个奖励模型：，分析与推导哪个函数模型能符合该公司的要求？并给予证明．（注：1.002⁵⁰⁰≈2.7）

Answer 1

解：函数在[10，1000]内单调递增，且f₁（1000）=250，，两者都大于5万元，因而第一、三两个模拟函数显然不符合公司要求．…（3分）
而对于函数f₂（x）=log₇x+1，函数在[10，1000]上也是单调递增的，而且，因而符合第一个要求；…（6分）
下面再考虑是否在[10，1000]上恒成立．
令，
则，
从而，则f（x）＜0．
即成立，因而符合公司的第二个要求．
综上所述，只有模型y=log₇x+1能符合公司要求．…（12分）
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．