Question

已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点（）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，再根据a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k₁+k₂=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；
解答：（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，a²=8，
故椭圆方程为：=1．
（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则．
由已知 k₁+k₂=8，可得 ，
所以，即．     
所以，整理得 ．
故直线AB的方程为，即y=k（）-2．
所以直线AB过定点（）．   
（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x，
设A（x，y），B（x，-y），
由已知，得．
此时AB方程为，显然过点（）．
综上，直线AB过定点（）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．