Question

已知函数h(x)=

x2-4x+m

x-2

(x∈R，且x＞2），函数y=t（x）的图象经过点（4，3），且y=t（x）与y=h（x）的图象关于直线y=x对称，将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+

a

x

，g(x)在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．
（III）若函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（a，b）（其中x₁≠x₂），有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，称函数f（x）在（a，b）的图象是“下凸的”．判断此题中的函数f（x）图象在（0，+∞）是否是“下凸的”？如果是，给出证明；如果不是，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，h（x）的图象经过（3，4），代入可得m的值，从而可求h（x）、f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知有x+

3+a

x

≥8，分离参数，利用求函数最值的方法，可得实数a的取值范围；
（III）利用新定义，作差，证明其差小于0，即可判断．

解答：解：（Ⅰ）由题意，h（x）的图象经过（3，4），代入可得4=

9-12+m

3-2

，解得m=7
∴h(x)=

x2-4x+7

x-2

，∴f（x）=h（x+2）=x+

3

x

；（3分）
（Ⅱ）∵g(x)=x+

3+a

x

，
∴由已知有x+

3+a

x

≥8有a≥-x²+8x-3，（6分）
令t（x）=-x²+8x-3，则t（x）=-（x-4）²+13，于是t（x）在（0，3）上是增函数．
∴t（x）_max=12．
∴a≥12．                                                              （8分）
（III）f(x)=x+

3

x

的图象在（0，+∞）是“下凸的”．                            （9分）
∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=(

x1+x2

2

+

3

x1+x2 2

)-

x1+ 3 x1 +x2+ 3 x2

2

=

(x1+x2)2+12-(x1+x2)(x1+ 3 x1 +x2+ 3 x2 )

2(x1+x2)

=

12- 3(x1+x2)2 x1x2

2(x1+x2)

＜

12- 3(2 x1x2 )2 x1x2

2(x1+x2)

=0
∴

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
∴f(x)=x+

3

x

的图象在（0，+∞）是“下凸的”．                               （12分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．