Question

已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）e^-x（x∈R，e为自然对数的底数）．
（I）当a=-2时，求函数，f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，1）内单调递减，求a的取值范围；
（III）函数f（x）是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围：若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=（-x²-2x）e^-x；f′（x）=（x²-2）e^-x
令f′（x）＜0，得x²-2＜0，∴-＜x＜
∴f（x）的单调递减区间是（-，）；
（Ⅱ）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，若f（x）在（-1，1）内单调递减，即当-1＜x＜1时，f′（x）≤0，
即x²-（a+2）x+a≤0对x∈（-1，1）恒成立；
令g（x）=x²-（a+2）x+a，则
∴，解得a≤-；
（III）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，其正负取决于二次式x²-（a+2）x+a，该二次式值（首项为正）不可能永为负，也就是说原函数不可能是整个实数域上的单调递减函数；
若要成为单调递增函数，则x²-（a+2）x+a≥0对x∈R恒成立
∵△=（a+2）²-4a=a²+4＞0
∴函数不可能在R上单调递增
综上可知，函数f（x）不可能为R上的单调函数．
分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，若f（x）在（-1，1）内单调递减，即当-1＜x＜1时，f′（x）≤0，即x²-（a+2）x+a≤0对x∈（-1，1）恒成立，变换主元，可得不等式组，从而可求a的值；
（III）判断函数不可能是整个实数域上的单调递减函数；要成为单调递增函数，则x²-（a+2）x+a≥0对x∈R恒成立，判断其不可能，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．