Question

直线l：3x+4y-12=0与椭圆

x2

16

+

y2

9

=1相交于A、B两点，点P是椭圆上的一点，若三角形PAB的面积为12，则满足条件的点P的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由题意可得AB=5，则由三角形PAB的面积为12可得AB的距离 h=

24

5

，作与AB平行的直线l，使l与椭圆

x2

16

+

y2

9

=1相切，设直线l的方程为

x

4

+

y

3

=k，把l的方程代入椭圆方程化简，由判别式等于0 解得 k值，从而得到直线l的方程，求出直线l与AB间的距离，将此距离和h作比较，从而得出结论．

解答：解：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=

1

2

AB•h，可得P到AB的距离 h=

24

5

．
作与AB平行的直线l，使l与椭圆

x2

16

+

y2

9

=1相切，设直线l的方程为

x

4

+

y

3

=k，
把l的方程代入椭圆方程化简可得 x²-4kx+8k²-8=0，
由△=16k²-32（k²-1）=0
∴k=

2

，或 k=-

2

，
故直线l的方程为

x

4

+

y

3

=

2

，或

x

4

+

y

3

= -

2

．
因为

x

4

+

y

3

=

2

与AB的距离为

| 2 -1|

1 16 + 1 9

=

12( 2 -1)

5

＜

24

5

，

x

4

+

y

3

= -

2

与AB的距离为

|- 2 -1|

1 16 + 1 9

=

12( 2 +1)

5

＞

24

5

．故这样的点P共有 2个，
故选 B．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两平行线间的距离公式，得到与AB平行的且与椭圆相切的切线l 的方程的个数是解题的关键．