Question

给出下列命题：
①y=

x2+3

x2+2

的最小值是2；
②若a＞b，则

1

a

＜

1

b

成立的充要条件是ab＞0；
③若不等式x²+ax-4＜0对任意x∈（-1，1）恒成立，则a的取值范围为（-3，3）．
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
真命题的序号是

②④

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①利用基本不等式进行判断．②利用不等式的性质进行判断．③利用不等式恒成立的性质判断．④利用面面垂直的性质判断．

解答：解：①y=

x2+3

x2+2

=

x2+2+1

x2+2

=

x2+2

x2+2

+

1

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥2，当且仅当

x2+2

=

1

x2+2

取等号，即x²+2=1，方程不成立，∴①错误．
②由

1

a

＜

1

b

得

1

a

-

1

b

=

b-a

ab

＜0，∴当a＞b时，ab＞0，∴②正确．
③由x²+ax-4＜0得ax＜4-x²，当x∈（0，1）时，不等式等价为a＜

4-x2

x

=

4

x

-x，则y=

4

x

-x在（0，1）上单调递减，∴

4

x

-x＞4-1=3，此时a≤3，∴③错误．
④根据面面垂直性质定理，可知与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，∴④正确．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．