Question

已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”（即平均数的倒数）为

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=tan（t＞0），数列{b_n}的前n项为S_n，求

lim

n→∞

Sn+1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（1）通过数列{a_n}的前n项的“均倒数”（即平均数的倒数）为

1

2n+1

，求出a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1）
推出a_n=4n-1，然后求出通项公式；
（2）利用b_n=tan（t＞0），求出数列{b_n}的前n项为S_n，然后对t=1，t＞1，0＜t＜1分类讨论，分别求出极限值即可．

解答：解：（1）数列{a_n}的前n项的“均倒数”（即平均数的倒数）为

1

2n+1

，
所以a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
两式相减，得 a_n=4n-1，n≥2，a₁=3∴a_n=4n-1n∈N
（2）因为b_n=tan（t＞0），b_n=t^4n-1，S_n=t³+t⁷+…+t^4n-1（t＞0），
当t=1时，S_n=n，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1；
当t＞1时，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-t4n+4

1-t4n

=t4；
当0＜t＜1时，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=1．
综上得，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

1  (0＜t≤1) t4   (t＞1)

点评：本题是中档题，考查数列通项公式的应用，通项公式的求法，分类讨论的思想，极限的求法，考查计算能力，注意通项公式求解时，n=1的验证．