Question

5．东莞某商城欲在国庆期间对某新上市商品开展促销活动，经测算该商品的销售量a万件与促销费用x万元满足ax+20a=40x+755，已知a万件该商品的进价成本为100+30a万元，商品的销售价定为50+$\frac{300}{a}$元/件．
（1）将该商品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

分析 （1）根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系；
（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

解答 解：（1）由题意知，a=40-$\frac{45}{x+20}$
y=（5+$\frac{300}{a}$）a-x-（100+30a）=1000-$\frac{900}{x+20}$-x（x＞0）
（2）y=1000-$\frac{900}{x+20}$-x=1020-[$\frac{900}{x+20}$+（x+20）]≤1020-2$\sqrt{900}$=960，
当且仅当$\frac{900}{x+20}$=x+20，即x=10时，等号成立，
∴促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．