Question

8．已知tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，tanα•tanβ=$\frac{13}{7}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 首先利用两角和与差的正切公式求出α，β的正切值，然后求差的正切值，从而得到所求．

解答 解：∵tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴tan（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=-2$\sqrt{6}$，
∵tanα•tanβ=$\frac{13}{7}$①，
∴由tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，
即-2$\sqrt{6}$=$\frac{tanα+tanβ}{1-\frac{13}{7}}$，
∴tanα+tanβ=$\frac{12\sqrt{6}}{7}$②，
∴联立①②可得tanα=$\frac{6\sqrt{6}±5\sqrt{5}}{7}$，tanβ=$\frac{6\sqrt{6}\overline{+}5\sqrt{5}}{7}$，
所以tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$═±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以cos（α-β）=±$\frac{1}{\sqrt{1+ta{n}^{2}（α-β）}}$=$±\frac{1}{\sqrt{1+\frac{5}{4}}}$=±$\frac{2}{3}$；
故答案为：±$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了两角和与差的正切公式的运用求三角函数的值，熟练掌握公式是关键，属于基本知识的考查．