Question

【题目】如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且，，．

Ⅰ证明：；

Ⅱ求A到平面PBD的距离．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（1）由余弦定理得，从而BD⊥AB，由AB∥DC，得BD⊥DC．从而BD⊥平面PDC，由此能证明BD⊥PC
（2）设A到平面PBD的距离为h．取DC中点Q，连结PQ，由VA-PBD=VP-ABD，能求出A到平面PBD的距离．

（1）由余弦定理得，

∴，∴， ∴.

又平面 底面，平面 底面 ，底面，

∴平面，

又平面，∴.

（2）设到平面的距离为

取中点，连结,∵△是等边三角形，∴.

又平面 底面，平面 底面 ，平面，

∴底面，且，

由（Ⅰ）知平面，又平面，∴.

∴，即××2× ×1××.

解得.