Question

从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；
（II）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3件，用X表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X的分布列和期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）样本数据的平均数为：
175×0.05+225×0.15+275×0.55+325×0.15+375×0.1=280．
因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天．…（5分）
（Ⅱ）依题意，X～B（3，）．
X的可能值为0，1，2，3．
P（X=0）=（）³=，P（X=1）=C××（）²=，
P（X=2）=C×（）²×=，P（X=3）=（）³=．…（9分）
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P

…（10分）
数学期望E（X）=3×=（件）．…（12分）
分析：（I）根据题设条件，利用各区间的中点值，计算从某节能灯生产线上随机抽取100件产品的平均数，再用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；
（II）依题意，X～B（3，），X的所有可能取值为0，1，2，3，然后利用组合数分别求出它们的概率，求出X的分布列和期望即可．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和直方图，解题时要认真审题，注意观察，学会利用图表获取信息，易错点是不会读图．