Question

18．三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为2$\sqrt{3}$，顶点都在一个球面上，则该球的体积为（　　）

• A． $4\sqrt{3}π$
• B． $\frac{{28\sqrt{7}π}}{3}$
• C． $8\sqrt{6}π$
• D． $\frac{{32\sqrt{7}π}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2$\sqrt{3}$的正三棱柱，
设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外接球的半径为OA₁，
又设D为A₁C₁中点，在直角三角形EDA₁中，EA₁=2
在直角三角形OEA₁中，OE=$\sqrt{3}$，由勾股定理得OA₁=$\sqrt{7}$
∴球的体积为V=$\frac{4}{3}$π•（$\sqrt{7}$）³=$\frac{28\sqrt{7}}{3}$π，
故选：B．

点评 本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．