Question

已知椭圆经过点P，两焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l恒过点，且交椭圆C于A、B两点，证明：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

Answer 1

解：（1）由题意知△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c，
∴a=，
∴，
∵椭圆过点P（-1，-），代入方程，得b=1，
∴a=，故所求椭圆方程为．
（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为x²+y²=1，
此圆显然过点T（0，1）．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-，
由，消去y，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
∵，，
∴=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=
=
=（1+k²）•，
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），
综上所述，以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．
分析：（1）由题意知△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c，得a=，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T（0，1）．当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx-，由，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，由TA⊥TB，知以AB为直径的圆恒过定点T（0，1），由此能够证明以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考要直线和椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、向量垂直等知识点的合理运用．