Question

18．已知两个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为30°，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b}$为单位向量，$\overrightarrow{c}$=t$\overrightarrow{a}$+（1-t）$\overrightarrow{b}$，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．若$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，则t=-2．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{c}$=t$\overrightarrow{a}$+（1-t）$\overrightarrow{b}$，两边与$\overrightarrow{c}$作数量积运算可得${\overrightarrow{c}}^{2}$=t²+t+1=$（t+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$，利用二次函数的单调性即可得出．由$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}×1×cos3{0}^{°}$=$\frac{3}{2}$．
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=${t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$+$（1-t）^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$+2t（1-t）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=3t²+（1-t）²+3t（1-t）
=t²+t+1
=$（t+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$≥$\frac{3}{2}$，当t=-$\frac{1}{2}$时取等号，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，
∴$\overrightarrow{c}$$•\overrightarrow{b}$=t$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+（1-t）$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$t+（1-t）=0，
解得t=-2．
故答案分别为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；-2．

点评 本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．