Question

已知抛物线y²=2px(p>0)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值.

Answer 1

(1)∴-<a≤-.
(2)△NBA的面积最大值为p².

(1)设直线l:y=x-a,
由x²-2ax+a²-2px=0,
即x²-(2a+2p)x+a²=0.设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则
则|AB|=
=≤2p.
∴0<8p(p+2a)≤4p².
又∵p>0,∴-<a≤-.
(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令Q(x₀,y₀),
则
∴|QM|²=(a+p-a)²+(p-0)²=2p².
又△MNQ为等腰直角三角形,
∴|QN|=|QM|=p.
∴S_△NAB=|AB|·|QN|=p·|AB|≤p·2p=p²,
即△NBA的面积最大值为p².