Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求多面体ADC-A₁B₁C₁的体积；
（3）求二面角D-CB₁-B的平面角的正切值．

Answer 1

（1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，
又AC⊥C₁C，C₁C∩BC=C
∴AC⊥平面BCC₁；
∴AC⊥BC₁
（2）VADC-A1B1C1=VABC-A1B1C1-VB1-BCD=

1

2

×3×4×4-

1

3

×4×

1

2

×

1

2

×3×4=20
（3）由题意可得：以CA、CB、CC₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴C（0，0，0），D(

3

2

，2，0)，B₁（0，4，4），
∴

CD

=(

3

2

，2，0)，

CB1

=(0，4，4)
平面CBB₁C₁的法向量

n1

=(1，0，0)，
设平面DB₁C的法向量

n2

=(x0，y0，-1)，
则

n1

，

n2

的夹角的补角的大小就是二面角D-CB₁-B的大小
则由

n2 • CD =0 n2 • CB1 =0

解得

n2

=(-

4

3

，1，-1)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=-

4

34

，
则tan＜

n1

，

n2

＞=-

3 2

4

∴二面角D-B₁C-B的正切值为

3 2

4