Question

1．已知定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6ax-1，x≤1}\\{{a}^{x}-7，x＞1}\end{array}\right.$，对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． [$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 根据对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，可知f（x）在R上是单调减函数，可知a＜1，由二次函数的性质可知：（-∞，3a）是减区间，可得3a≥1，且满足（a^x-7）_max≤（x²-6ax-1）_min可得a的取值范围．

解答 解：定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6ax-1，x≤1}\\{{a}^{x}-7，x＞1}\end{array}\right.$，
对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，可知f（x）在R上是单调减函数，
可得：y=a^x-7是减函数，则a＜1．
由二次函数的性质可知：y=x²-6ax-1的对称轴为x=3a，其（-∞，3a）是单调减区间，
∴3a≥1，可得：a$≥\frac{1}{3}$
满足（a^x-7）_max≤（x²-6ax-1）_min可得：a-7≤-6a
解得：a＜1．
综上可得：a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的单调性的运用．属于基础题．