Question

已知曲线C的方程为y²=4x（x＞0），曲线E是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且．
（1）求曲线E的标准方程；
（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为，
依题意，c=1，，利用抛物线的定义可得x_P-（-1）=，解得，
∴P点的坐标为，所以，
由椭圆定义，得．
∴b²=a²-c²=3，
所以曲线E的标准方程为；
（2）设直线l与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0），
与联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0得4k²-m²+3＞0①，
由韦达定理得，x₁+x₂=，，
则x₀=，y₀=kx₀+m=，
将中点（，）代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），
整理，得9m=-16k（3+4k²），②
将②代入①得16²k²（3+4k²）＜81，
令t=4k²（t＞0），
则64t²+192t-81＜0，解得0＜t＜，
∴-＜k＜．
所以直线l的斜率k的取值范围为-＜k＜．
分析：（1）设椭圆方程为，由题意得c，由及抛物线定义可得P点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，由椭圆定义可得a，由b²=a²-c²可得b；．
（2）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点F₂的坐标为（x₀，y₀），设直线方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）与联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由△＞0，得4k²-m²+3＞0①，由韦达定理得AB的中点（，），代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），得9m=-16k（3+4k²），再与①联立能求出直线l的斜率k的取值范围．
点评：本题考查曲线的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．