Question

15、（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为

（x-2）²+（y-1）²=5

．
（2）（不等式选做题）对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，则|x-2y+1|的最大值为

5

．

Answer 1

分析：（1）把曲线的极坐标方程ρ=2sinθ+4cosθ两边同时乘以ρ，再把 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入化简．
（2）先由条件得到 0≤x≤2，1≤y≤3，再根据|x-2y+1|≤|x|+2|y|+1，求得|x-2y+1|的最大值．

解答：解：（1）∵曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，∴ρ²=2ρ sinθ+4ρ cosθ，
∴x²+y²=2y+4x，∴（x-2）²+（y-1）²=5．故答案为：（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）|x-1|≤1，|y-2|≤1，即 0≤x≤2，1≤y≤3，
则|x-2y+1|=|x-1-2y+4-2|≤|x-1|+2|y-2|+2≤1+2×1+2=5，∴|x-2y+1|的最大值为5，
故答案为：5．

点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及绝对值不等式的性质的应用．