Question

8．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M，N分别为BB₁，DD₁的中点．
（1）求B₁N与平面A₁B₁C₁D₁所成角的大小．
（2）求异面直线A₁M与B₁C所成角的大小．
（3）若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V，求三棱锥M-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）连接B₁D₁，则∠D₁B₁N是B₁N与平面A₁B₁C₁D₁所成角；
（2）∠MA₁D是异面直线A₁M与B₁C所成的角（或补角），利用余弦定理求解即可；
（3）三棱锥M-A₁B₁C₁的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{B}_{1}{A}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×\frac{1}{2}B{B}_{1}$，即可得出结论．

解答 解：（1）连接B₁D₁，则∠D₁B₁N是B₁N与平面A₁B₁C₁D₁所成角，
∴D₁N=a，B₁D₁=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠D₁B₁N=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B₁N与平面A₁B₁C₁D₁所成角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵A₁D∥B₁C
∴∠MA₁D是异面直线A₁M与B₁C所成的角（或补角），
∵MA₁=$\sqrt{2}$a，A₁D=$\sqrt{5}$a，MD=$\sqrt{3}$a，
∴cos∠MA₁D=$\frac{2{a}^{2}+5{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×\sqrt{2}a×\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴异面直线A₁M与B₁C所成的角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（3）∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V，
∴三棱锥M-A₁B₁C₁的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{B}_{1}{A}_{1}×{B}_{1}{C}_{1}×\frac{1}{2}B{B}_{1}$=$\frac{1}{12}$V．

点评 本题考查线面角，异面直线A₁M与B₁C所成的角，三棱锥M-A₁B₁C₁的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．