Question

【题目】已知奇函数的导函数为，且，当时恒成立，则使得成立的的取值范围为（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据题意构造函数g（x）＝xf（x），结合条件可得到函数g（x）的单调性和奇偶性，结合函数g（x）的单调性、奇偶性画出函数的大致图象，由图象可得x的取值范围．

由题意设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x），

∴当x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，

∵函数f（x）是奇函数，

∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数，

由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，函数g（x）的图象大致如图：

∵不等式f（x）＞0，∴或，

由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，

∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），

故选：C．