Question

7．已知函数f（x）=ax³+bx，且函数y=f（x）-$\frac{3}{2}$x²在x=1和x=2处取得极值
（1）求a，b的值
（2）设g（x）=x（lnx-1），若对任意x₁∈R，存在x₂∈（0，+∞），使f′（x₁）-g′（x₂）=1，则x₂²-x₁²是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，检验即可；
（2）根据函数的单调性求出${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$-lnx₂+1，令h（x）=x²-lnx+1（x≥e），求出h（x）的最小值，从而求出答案即可．

解答 解：（1）由已知y=f（x）--$\frac{3}{2}$x²=ax³-$\frac{3}{2}$x²+bx，
得y′=3ax²-3x+b，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{3a-3+b=0}\\{12a-6+b=0}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{3}$，b=2，
经检验，所求a，b满足题意；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x，f′（x）=x²+2，
又g′（x）=lnx，由f′（x₁）-g′（x₂）=1得${{x}_{1}}^{2}$+2-lnx₂=1，
∴${{x}_{1}}^{2}$+1=lnx₂，
由于${{x}_{1}}^{2}$+1=lnx₂⇒lnx₂≥1⇒x₂≥e，
那么${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$-lnx₂+1，
令h（x）=x²-lnx+1（x≥e），
则h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$＞0，
∴函数h（x）在[e，+∞）递增，
于是h（x）_min=h（e）=e²，
x₂²-x₁²是存在最小值为e²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数极值的意义，考查转化思想，是一道中档题．