Question

已知有下列四个命题：
①若a、b∈R且a+b=2，则的最小值为2；
②函数f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函数；
③若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1．则4为f（x）的一个周期；
④函数y=2cos²x+sin2x的最小值为+1．正确命题是________．

Answer 1

②③
分析：①举反例，即可说明该命题不正确；
②求导，判断导函数的符号，从而确定命题的正确与否；
③以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），从而得到结论；
④先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式 化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．
解答：①若a、b∈R且a+b=2，则的最小值为2，错，如a=4，b=-2，满足a+b=2，但是=-；
②f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函数f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函数；故该命题正确；
③∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4为f（x）的一个周期；该命题正确；
④y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+
=1+
当 =2k ，有最小值1-
故该命题错；
故答案为：②③
点评：此题是个基础题．考查基本不等式求最值，注意正、定、等三方面兼顾，以及函数的周期性的定义，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．