Question

偶函数f（x）（x∈R）满足f（-4）=f（1）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增，则不等式xf（x）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：利用偶函数关于y轴对称的性质，并结合题中给出函数的单调区间画出函数f（x）的图象，再由xf（x）＜0得到x与f（x）异号得出结论．

解答： 解：∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）即f（4）=f（-1）=0，
又∵f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上
分别递减和递增得到图象如图：
由图可知，当x＞0时要xf（x）＜0只需f（x）＜0
即x∈（1，4），
当x＜0时，可得x∈（-∞，-4）∪（-1，0）
故答案为：（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性和单调性作出函数的图象，并利用数形结合求解．