Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=

3

，点D为AC的中点，点E在线段AA₁上，
（Ⅰ）当E为AA₁中点时，求证：ED∥平面A₁B₂C
（Ⅱ）当点A到平面BDE的距离为

1

2

时，求AE的长度．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得ED∥A₁C，由此能证明ED∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）过A作AF⊥DE于F，由已知得AA₁⊥BD，BD⊥AC，从而点A到平面BDE的距离为AF=

1

2

，由面积公式，由此能求出AE．

解答： （Ⅰ）证明：∵在△AA₁C中，E为AA₁中点，D为AC的中点，
∴ED∥A₁C，且ED?平面A₁B₁C，A₁C?平面A₁B₁C，
∴ED∥平面A₁B₁C．

（Ⅱ）解：如图，过A作AF⊥DE于F，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴AA₁⊥BD，
在正△ABC中，D是AC的中点，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面AC 1 ，AF?平面AC₁，
∴BD⊥AF，又AF⊥DE，
∴AF⊥平面BDE，故点A到平面BDE的距离为AF，即AF=

1

2

．
设AE=a，在Rt△ADE中，AD=1，得DE=

a2+1

，
由面积公式，得AE•AD=DE•AF，即a=

1

2

•

a2+1

，解得a=

3

3

．
当点A到平面BDE的距离为

1

2

时，AE=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．