Question

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角M-AC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P-MAC的体积．

Answer 1

【答案】分析：法一（Ⅰ）通过证明PC⊥平面ABC，证明平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角，解三角形求二面角M-AC-B的大小；
（Ⅲ）三棱锥P-MAC的体积，转化V_P-MAC=V_A-PCM=V_A-MNC=V_M-ACN，求出底面ACN的面积，求出高MN即可．

法二（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz，求出平面MAC的一个法向量为，
平面ABC的法向量取为=（{0，0，1}）利用，解答即可．
（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为=（{1，0，0}），则点A到平面PCM的距离，求出体积即可．
解答：解法一：
（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC⊥平面ABC，
又∵PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，
∵PMCN，∴MNPC，从而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，
从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角
直线AM与直线PC所成的角为60
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN=；
在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN==1；
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×；
在△MNH中，MN=tan∠MHN=；
故二面角M-AC-B的平面角大小为arctan．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形
∴V_P-MAC=V_A-PCM=V_A-MNC=V_M-ACN=

解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）
由题意有，设P（0，0，z）（z＞0），
则M（0，1，z），
由直线AM与直线PC所成的解为60°，得，即z²=，解得z=1
∴，设平面MAC的一个法向量为，
则，取x₁=1，得，
平面ABC的法向量取为，
设与所成的角为θ，则cosθ=，
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角大小为arccos．

（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为，则点A到平面PCM的距离h=，
∵|=1，∴V_P-MAC=V_A-PCM═．
点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．