Question

等比数列{a_n}同时满足下列三个条件：①a₁+a₆=33；②a₂a₅=32；③三个数2a₂，a₃²，3a₄+4依次成等差数列，求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析：由①②求出a₁，a₆  的值，求出a_n=2n-1或an=26-n．再通过③验证，确定通项公式，再根据等比数列前n项和公式计算出S_n．

解答：解：由等比数列性质，a₁•a₆ =a₂a₅=32，又a₁+a₆=33．∴a₁，a₆是方程x²-33x+32=0的两根，解得①

a1=1 a6=32

，此时q=2，通项公式为a_n=2^n-1，三个数2a₂，a₃²，3a₄+4依次为：4，16，28，成等差数列，符合题意．
或②

a1=32 a6=1

，此时q=

1

2

，通项公式为a_n=32×(

1

2

)n-1=2^6-n，三个数2a₂，a₃²，3a₄+4依次32，64，16，不成等差数列．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
∴S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．

点评：本题考查等比数列的性质、通项公式、前n项和S_n．在解题中，应用性质能有效的减少运算量．