Question

【题目】设函数，其中，是自然对数的底数.

（1）若在上存在两个极值点，求的取值范围；

（2）若，证明：.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）在上存在两个极值点等价于在有两个根，分离参数，分析函数的单调性及极值，即可得出取值；

范围.（2）即，等价于,令，利用导数求函数的最值，证明最大值小于0即可.

（1）由题意可知，，，

在上存在两个极值点等价于在有两个根，

由可得，，令，

则，令，

可得，当时，，

所以在上单调递减，且，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

所以是的极大值也是最大值，又当，当 大于趋向于，

要使在有两个根，只需，

所以的取值范围为；

（2）证明：即，等价于，

令,，

当时，，单调递增，所以，

当时，，令，

，又，

取，且使，即，

则有，

因为，故存在唯一零点，

即有唯一的极值点且为极小值点，

由可得，，故，

因为，故为上的增函数，

所以，所以．

综上，当时，总有．