【题目】已知函数 (其中ω>0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 .
(1)求y=f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2b﹣a)cosC=ccosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断△ABC的形状.
【答案】
(1)解:∵ ,
= ,
∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为 ,
∴T=π,
∴ ,
∴ω=1,
∴ .
∵ 得: ,
∴函数f(x)单调增区间为 ;
(2)解:∵(2b﹣a)cosC=ccosA,由正弦定理,
得(2sinB﹣sinA)cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),
∵sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB>0,2sinBcosC=sinB,
∴sinB(2cosC﹣1)=0,
∴ ,
∵0<C<π,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∴ ,
根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值ymax=1,
此时 ,即 ,
∴ ,
∴△ABC为等边三角形
【解析】﹙1﹚由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2ωx﹣ ),由题意可得周期T=π,可得ω=1,进而可得f(x)=sin(2x﹣ ),根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间;(2)由由正弦定理以及角的和差公式,求出 ,即C= ,根据正弦函数的性质,求出 ,即△ABC为等边三角形.
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义,掌握正弦定理:即可以解答此题.
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【题目】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为药, 药)的疗效,随机地选取18位患者服用药,18位患者服用药,这36位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:),试验的观测结果如下:
服用药的18位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3
服用药的18位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7
(1)分别计算两组数据的平均数(小数点后保留两位小数),从计算结果看哪种药疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?并说明理由.
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【题目】我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性,对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析,得到如下数据和散点图:
定价(元/) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
年销售 | 1150 | 643 | 424 | 262 | 165 | 86 |
14.1 | 12.9 | 12.1 | 11.1 | 10.2 | 8.9 |
图(1)为散点图,图(2)为散点图.
(Ⅰ)根据散点图判断与,与哪一对具有较强的线性相关性(不必证明);
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果和参考数据,建立关于的回归方程(线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字);
(Ⅲ)定价为多少时,年销售额的预报值最大?(注:年销售额定价年销售)
参考数据:,,,,, ,,,
参考公式:,.
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【题目】已知椭圆的离心率为,是椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点,是直线上任意一点.证明:直线的斜率成等差数列.
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【题目】设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(,)
C. 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg
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【题目】某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据:
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)若广告费与销售额具有相关关系,求回归直线方程;
(2)在已有的五组数据中任意抽取两组,求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
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