Question

如图，

ADB

为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设

DM

DN

=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?根据|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

5

判断出曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则首先可知a，根据|AB|=4求得c，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y，根据判别式大于0求得k的范围，根据题意可知

DM

DN

=

x1

x2

=λ，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁+x₂的表达式，将x₁=λx₂代入两式相除，根据k的范围求得λ的范围，进而根据M在D、N中间，判断出λ＜1，综合可得答案．

解答：解：（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+12

=2

5

＞|AB|=4．
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆．
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2

5

，
∴a=

5

，c=2，b=1．
∴曲线C的方程为

x2

5

+y²=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+2，
代入

x2

5

+y²=1，得（1+5k²）x²+20kx+15=0．
△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞

3

5

．
由图可知

DM

DN

=

x1

x2

=λ
由韦达定理得

x1+x2=- 20k 1+5k2 x1•x2= 15 1+5k2

，将x₁=λx₂代入得

(1+λ)2x22= 400k2 (1+5k2)2 λx22= 15 1+5k2

两式相除得

(1+λ)2

λ

=

400k2

15(1+5k2)

=

80

3(5+ 1 k2 )

∵k2＞

3

5

，∴0＜

1

k2

＜

5

3

，∴5＜

1

k2+5

＜

20

3

，即4＜

80

3( 1 k2 +5)

＜

16

3

∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

，∵λ=

DM

DN

＞0，∴解得

1

3

＜λ＜3①
∵λ=

x1

x2

=

DM

DN

，M在D、N中间，
∴λ＜1②
又∵当k不存在时，显然λ=

DM

DN

=

1

3

（此时直线l与y轴重合）
综合得：

1

3

≤λ＜1．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，是高考题常考的类型．