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如图所示,三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中,正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形,俯视图是等腰直角三角形,点M是A1B1的中点.

(1)求证:B1C∥平面AC1M;
(2)求证:平面AC1M⊥平面AA1B1B.
(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱,底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90°.
连结A1C,设A1C∩AC1=O,连结MO,
由题意可知,得到MO∥B1C,进一步得到B1C∥平面AC1M.
(2)利用已知得到C1M⊥A1B1
根据平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,
得到C1M⊥平面AA1B1B,达到证明目的:平面AC1M⊥平面AA1B1B.

试题分析:
思路分析:首先,由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱,底面是等腰直角三角形。(1)小题,为证明B1C∥平面AC1M,只需证明B1C平行于平面AC1M内的任一直线,发现、构造这样的一条直线是关键。通过连结A1C,并设A1C∩AC1=O,则MO即为这样的直线。
(2)小题,为证明“面面垂直”,须注明“线面垂直”。由等腰三角形底边的中线,发现垂直关系。
证明:(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱,底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90°.
连结A1C,设A1C∩AC1=O,连结MO,
由题意可知,A1O=CO,A1M=B1M,
∴MO∥B1C,
又MO?平面AC1M,
B1C?平面AC1M,∴B1C∥平面AC1M.
(2)∵A1C1=B1C1,M为A1B1的中点,
∴C1M⊥A1B1
又平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,
平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1
∴C1M⊥平面AA1B1B,又,所以,平面AC1M⊥平面AA1B1B.
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。三视图问题,关键是理解三视图的画法规则,应用“长对正,高平齐,宽相等”,确定数据。认识几何体的几何特征,是解题的关键之一。
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