Question

把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移

π

6

个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+

π

6

）；  
②该函数图象关于点（

π

3

，0）对称；　
③该函数在[0，

π

6

]上是增函数；
④函数y=f（x）+a在[0，

π

2

]上的最小值为

3

，则a=2

3

．
其中，正确判断的序号是

②④

．

Answer 1

分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由此可得①不正确．求出函数的对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0），可得②正确．
求出函数的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z，可得③不正确．由于当x∈[0，

π

2

]时，求得f（x）+a的最小值为-

3

+a=

3

，可得a的值，可得④正确．

解答：解：把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移

π

6

个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数y=f（x）=2sin2（x+

π

6

）=2sin（2x+

π

3

）的图象，
由于f（x）=2sin（2x+

π

3

），故①不正确．
令2x+

π

3

=kπ，k∈z，求得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，故函数的图象关于点（

kπ

2

-

π

6

，0）对称，故函数的图象关于点（

π

3

，0）对称，故②正确．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故函数的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z，
故函数在[0，

π

6

]上不是增函数，故 ③不正确．
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，故当2x+

π

3

=

4π

3

时，f（x）取得最小值为-

3

，函数y=f（x）+a取得最小值为-

3

+a=

3

，
故a=-2

3

，故④正确．
故答案为 ②④．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，复合三角函数的单调性、对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．