Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）和向量$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）．
（1）设f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，求f（x）的解析式；
（2）若命题p：“?x∈[0，π]，f（x）≥k”为真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量和三角函数的知识化简可得f（x）=cos2x-2|sinx|；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）=cos2x-2sinx=-2（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，由二次函数区间的最值和恒成立可得．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）和向量$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2-2cos2x}$
=$\sqrt{2（1-1+2si{n}^{2}x）}$=2|sinx|，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=cos2x-2|sinx|；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）=cos2x-2sinx
=-2sin²x-2sinx+1=-2（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
由二次函数可知当sinx=1时，f（x）取最小值-3，
∵?x∈[0，π]，f（x）≥k恒成立，∴k≤-3

点评 本题考查复合命题的真假，涉及向量和三角函数的知识以及二次函数区间的最值，属中档题．