Question

15．已知函数$f（x）=x+\frac{4}{x}\;\;，\;\;g（x）={2^x}+a$，若$?{x_1}∈[{\frac{1}{2}\;\;，\;\;3}]$，?x₂∈[2，3]，f（x₁）≥g（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 由?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最小值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最小值，构造关于a的不等式，可得结论．

解答 解：当x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]时，由f（x）=x+$\frac{4}{x}$得，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]单调递减，在（2，3]递增，
∴f（2）=4是函数的最小值，
当x₂∈[2，3]时，g（x）=2^x+a为增函数，
∴g（2）=a+4是函数的最小值，
又∵?x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]，都?x₂∈[2，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
可得f（x）在x₁∈[$\frac{1}{2}$，3]的最小值不小于g（x）在x₂∈[2，3]的最小值，
即4≥a+4，解得：a≤0，
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题．