Question

已知R为实数集，Q为有理数集．设函数f(x)=

0，(x∈CRQ) 1，(x∈Q)

，则（　　）

• A、函数y=f（x）的图象是两条平行直线
• B、

  lim

  x→∞

  f(x)=0或

  lim

  x→∞

  f(x)=1
• C、函数f[f（x）]恒等于0
• D、函数f[f（x）]的导函数恒等于0

Answer 1

分析：根据分段函数的图象性质可知函数y=f（x）的图象是两条平行直线上的一些孤立的点，可判定A的真假，函数在∞处左右极限不等，则该函数不存在极限，可判定B的真假，若x是无理数，则f（x）=0，f[f（x）]=f（0）=1可判定C的真假，根据f[f（x）]=1可判定D的真假．

解答：解：函数y=f（x）的图象是两条平行直线上的一些孤立的点，故A不正确；
函数f（x）的极限只有唯一的值，左右极限不等，则该函数不存在极限，故B不正确；
若x是无理数，则f（x）=0，f[f（x）]=f（0）=1，故C不正确；
∵f[f（x）]=1，∴函数f[f（x）]的导函数恒等于0，故D正确；
故选D．

点评：本题主要考查了分段函数，以及函数极限、图象、导数等有关问题，属于中档题．