【题目】在直角坐标系中,点,曲线(为参数),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.
(Ⅰ)若,求与公共点的直角坐标;
(Ⅱ)若与相交于不同的两点,是线段的中点,当时,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)若,曲线方程变为 ,消去参数可得曲线的普通方程为。曲线:.变为 ,化简可得,变形为,可得曲线的直角坐标方程为,联立直角坐标方程可得,解方程组可得与公共点的直角坐标。(Ⅱ)因为曲线(为参数),经过点,已知,所以求应根据参数的几何意义。故将曲线(为参数),的方程代入曲线的直角坐标方程得,由根与系数的关系可得。因为与相交于不同的两点,所以由可得,。
因为是线段的中点,所以,
整理可得,进而解得.
详解:(1)若,曲线的普通方程为,
曲线的直角坐标方程为,
由解得
所以与公共点的直角坐标为;
(2)将代入得:
设A、B两点对应参数分别为。
由得,,
由,得
得.
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【题目】在直角坐标系中,是过定点且倾斜角为的直线;在极坐标系(以坐标原点为极点,以轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的参数方程,并将曲线的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线与直线相交于不同的两点,求的取值范围.
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【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图4①,②,③,④为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;
(3)求的值.
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【题目】甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
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【题目】已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点,且,抛物线的准线与轴交于,于点,且四边形的面积为,过的直线交抛物线于两点,且,点为线段的垂直平分线与轴的交点,则点的横坐标的取值范围为( )
A. B. C. D.
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