Question

在平面直角坐标系xOy中，点Q到两点M(0，-

3

)，N(0，

3

)的距离之和等于4，记点Q的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）以MN为直径的圆与曲线C有几个公共点？要说明理由；
（Ⅲ）P是曲线C上一点，则使△PMN是直角三角形的点P有几个？（直接作答，不写过程）

Answer 1

分析：（Ⅰ）设Q（x，y），QM+QN=4＞MN．由椭圆定义可知，点Q的轨迹C是以M(0，-

3

)，N(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）以MN为直径的圆的方程是x²+y²=3，联立方程

x2+y2=3 x2+ y2 4 =1

，解得

x= 3 3 y= 2 6 3

，或

x=- 3 3 y=- 2 6 3

，或

x= 3 3 y=- 2 6 3

，或

x=- 3 3 y= 2 6 3

，由此知以MN为直径的圆与曲线C有4个公共点．
（Ⅲ）P取MN为直径的圆与曲线C有4个公共点，能得到4个直角三角形；分别过M，N作MN的垂线，与曲线C得到四个不同的交点P，从而得到另外四个直角三角形，故使△PMN是直角三角形的点P有8个．

解答：解：（Ⅰ）设Q（x，y），QM+QN=4＞MN．
由椭圆定义可知，点Q的轨迹C是以M(0，-

3

)，N(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆．
它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（Ⅱ）以MN为直径的圆的方程是x²+y²=3，
联立方程

x2+y2=3 x2+ y2 4 =1

，解得

x= 3 3 y= 2 6 3

，或

x=- 3 3 y=- 2 6 3

，或

x= 3 3 y=- 2 6 3

，或

x=- 3 3 y= 2 6 3

，
所以，曲线C与圆x²+y²=3的公共点有(

3

3

，

2 6

3

)，(-

3

3

，-

2 6

3

)，(-

3

3

，-

2 6

3

)和(-

3

3

，-

2 6

3

)，
故，以MN为直径的圆与曲线C有4个公共点．
（Ⅲ）使△PMN是直角三角形的点P有8个．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．