Question

4．设f（x，y）=（1-$\frac{y}{x}$）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=4时，求f（x，y）的展开式中二项式系数最大的项．
（2）若f（x，2）=a${\;}_{0}+\frac{{a}_{1}}{x}$+$\frac{{a}_{2}}{{x}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{x}^{n}}$，且a₃=-160，求$\sum_{i=1}^{n}$a_i；
（3）设$\frac{y}{x}$=$\sqrt{3}$，n为正偶数，若f（x，y）=A-$\sqrt{3}$B，比较$\frac{A}{B}$与1+$\frac{2}{{3}^{n}}$的大小．

Answer 1

分析 （1）利用展开式中二项式系数最大的项为第三项，可得结论；
（2）由a₃=-160=-2³•${C}_{n}^{3}$，求得n=6，再求$\sum_{i=1}^{n}$a_i；
（3）设$\frac{y}{x}$=$\sqrt{3}$，n为正偶数，利用二项式展开式，即可得出结论．

解答 解：（1）当n=4时，f（x，y）=（1-$\frac{y}{x}$）⁴ =${C}_{4}^{0}$-${C}_{4}^{1}$•$\frac{y}{x}$+${C}_{4}^{2}$•$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-${C}_{4}^{3}$•$\frac{{y}^{3}}{{x}^{3}}$+${C}_{4}^{4}$•$\frac{{y}^{4}}{{x}^{4}}$，
故展开式中二项式系数最大的项为第三项T₃=${C}_{4}^{2}$•$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$．
（2）∵f（x，2）=（1-$\frac{2}{x}$）ⁿ=${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•$\frac{2}{x}$+${C}_{n}^{2}$•${（\frac{2}{x}）}^{2}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$•${（\frac{2}{x}）}^{n}$=a${\;}_{0}+\frac{{a}_{1}}{x}$+$\frac{{a}_{2}}{{x}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{x}^{n}}$，
由a₃=-160=-2³•${C}_{n}^{3}$，求得n=6，
∴a₀=1，a₁=-12，a₂=60，a₃=-160，a₄=240，a₅=-192，a₆=64，
∴$\sum_{i=1}^{n}$a_i=a₀+a₁+a₂+…+a₆=1．
（3）设$\frac{y}{x}$=$\sqrt{3}$，n为正偶数，∵f（x，y）=（1-$\sqrt{3}$）ⁿ=${C}_{n}^{0}$-${C}_{n}^{1}$•$\sqrt{3}$+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{3}）}^{2}$+…+${C}_{n}^{n}$•${（\sqrt{3}）}^{n}$
=[${C}_{n}^{0}$+3${C}_{n}^{2}$+9${C}_{n}^{4}$…+${3}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$]-[${C}_{n}^{1}$+3$\sqrt{3}$${C}_{n}^{3}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•${（\sqrt{3}）}^{n-1}$]=A-$\sqrt{3}$B，
∴A=${C}_{n}^{0}$+3${C}_{n}^{2}$+9${C}_{n}^{4}$…+${3}^{\frac{n}{2}}$•${C}_{n}^{n}$，B=${C}_{n}^{1}$+3$\sqrt{3}$${C}_{n}^{3}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•${（\sqrt{3}）}^{n-1}$，

点评 本题考查二项式定理的运用，考查二项式系数，正确运用二项式展开式是关键．