Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M₁和M₂，且|M₁M₂|=，试求椭圆的方程

Answer 1

椭圆方程为： =1.

|MF|_max=a+c,|MF|_min=a－c,则(a+c)(a－c)=a²－c²=b²,
∴b²=4,设椭圆方程为                                      ①
设过M₁和M₂的直线方程为y=－x+m                                 ②
将②代入①得：(4+a²)x²－2a²mx+a²m²－4a²="0                             " ③
设M₁(x₁,y₁)、M₂(x₂,y₂),M₁M₂的中点为(x₀,y₀),
则x₀= (x₁+x₂)=,y₀=－x₀+m=.
代入y=x,得,
由于a²＞4,∴m=0,∴由③知x₁+x₂=0,x₁x₂=－,
又|M₁M₂|=,
代入x₁+x₂,x₁x₂可解a²=5,故所求椭圆方程为： =1.