Question

已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,且对任意的,都有.

（1）若{bn }的首项为4,公比为2,求数列{an+bn}的前n项和Sn;

（2）若 ，试探究:数列{bn}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

 

Answer 1

（1） ；（2）不存在.

【解析】

试题分析：对任意的,都有.

所以( )两式相减可求

（1）由于等比数{bn }的首项为4,公比为2,可知 ,于是可求得 ,

再将数列{an+bn}的前n项和拆分为等差数列{an}的前项和与等比数列的前 项和之和.

（2）由, 假设存在一项 ,可表示为

一方面, ,另一方面,

两者相矛盾K值不存在.

试题解析：

解:（1）因为,所以当时,

,

两式相减,得,

而当n=1时,,适合上式,从而,3分

又因为{bn}是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以，4分

从而数列{an+bn}的前项和；6分

（2）因为，,所以，. 8分

假设数列{bn}中第k项可以表示为该数列中其它项的和,即,从而,易知 ,(*) 9分

又,

所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在． 12分

考点：1、等比数列的通项公式和前 项和公式；2、拆项求和.