Question

已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1，满足f[f（a）]=

1

2

的实数a的个数为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：令f（a）=x，则f[f（a）]=

1

2

转化为f（x）=

1

2

．先解f（x）=

1

2

在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=

1

2

在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．

解答：解：令f（a）=x，则f[f（a）]=

1

2

变形为f（x）=

1

2

；
当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1=

1

2

，解得x₁=1+

2

2

，x₂=1-

2

2

；
∵f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）=

1

2

的解为x₃=-1-

2

2

，x₄=-1+

2

2

；
综上所述，f（a）=1+

2

2

，1-

2

2

，-1-

2

2

，-1+

2

2

；
当a≥0时，
f（a）=-（a-1）²+1=1+

2

2

，方程无解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-

2

2

，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-

2

2

，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+

2

2

，方程有1解；
故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，
综上所述，满足f[f（a）]=

1

2

的实数a的个数为8，
故选D．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．