Question

已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁A、CC₁的中点，求四棱锥C₁-B₁EDF的体积．

Answer 1

分析：连接A₁C₁、B₁D₁交于O₁，过O₁作O₁H⊥B₁D于H，说明C₁到平面B₁EDF的距离就是A₁C₁到平面B₁EDF的距离．求出底面B₁EDF的面积，求出高O₁H，即可求几何体的体积．

解答：解：连接A₁C₁、B₁D₁交于O₁，过O₁作O₁H⊥B₁D于H，
∵EF∥A₁C₁，
∴A₁C₁∥平面B₁EDF．
∴C₁到平面B₁EDF的距离就是A₁C₁到平面B₁EDF的距离．
∵平面B₁D₁D⊥平面B₁EDF，
∴O₁H⊥平面B₁EDF，即O₁H为棱锥的高．
∵△B₁O₁H∽△B₁DD₁，
∴O₁H=

B1O1•DD1

B1D

=

6

6

a，
V_C1-B1EDF
=

1

3

S_B1EDF•O₁H
=

1

3

•

1

2

•EF•B₁D•O₁H
=

1

3

•

1

2

•

2

a•

3

a•

6

6

a
=

1

6

a³．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力；是中档题．求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②分割法；③补形法．