Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求线段AB的长；
（3）如图，过原点相互垂直的两条直线与椭圆的四个交点构成四边形PRSQ，设直线PS的倾斜角为，试问：△PSQ能否为正三角形，若能求θ的值，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的性质，可知焦点到长轴的两个端点的距离分别为a+c和a-c，再把所给数值代入，即可得出a，b的值，求出椭圆的方程．
（2）利用弦长公式计算即可，注意设而不求思想的运用．
（3）先假设：△PSQ能为正三角形，设直线PS的方程，则直线RQ的方程也可知，分别与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PS与OQ的长度，再根据正三角形中的关系判断即可．
解答：解：（1）由题意得，解得
所求的方程为
（2）直线方程为，
代入椭圆方程得，所以，
由弦长公式求得．
（3）当P在y轴上，Q在x轴上时，△PSQ不是正三角形． 
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为，
由得（1），同理（2）
由△PSQ为正三角形，得，即3|OP|²=|OQ|²
所以，化简得，
，即．
所以△OPQ不是正三角形．
点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，弦长公式的应用，以及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系判断中的应用