Question

12．已知$\overrightarrow a=（-\sqrt{3}sinωx，cosωx）$，$\overrightarrow b=（cosωx，cosωx）$，ω＞0，记函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 根据向量的运算得出f（x）=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$，
（1）利用三角函数的周期公式求解即可．
（2）得出函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）=cos（2x$+\frac{π}{3}$），利用余弦函数的性质求解值域．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（-\sqrt{3}sinωx，cosωx）$，$\overrightarrow b=（cosωx，cosωx）$，ω＞0，
∴数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$-\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$
（1）f（x）=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$，T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$，
∵f（x）的最小正周期为π．
∴ω=1
（2）g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$=cos（2ωx$+\frac{π}{3}$）=cos（2x$+\frac{π}{3}$）
根据余弦函数的值域[-1，1]得出g（x）的值域为：[-1，1]

点评 本题综合考察了平面向量的运算，三角函数的性质，考察了综合运算知识的能力，属于中档题，常规题目．