Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有 ．
（1）解不等式 ；
（2）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2，则

∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数

∵

∴

∴ ，

即不等式 的解集为

（2）解：由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，

∴f（x）≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，等价于t2﹣2at+1≥1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

即t2﹣2at≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

把y=t2﹣2at看作a的函数，由于a∈[﹣1，1]知其图象是一条线段．

∵t2﹣2at≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立

∴

∴

解得t≤﹣2或t=0或t≥2

【解析】（1）由f（x）是奇函数和单调性的定义，可得f（x）在[﹣1，1]上是增函数，再利用定义的逆用求解；（2）先由（1）求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．