Question

已知数列满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a_n+1≠0，
∴=2，
即{a_n+1}为等比数列；
（2）由（1）知a_n+1=（a₁+1）q^n-1，
即a_n=（a₁+1）q^n-1-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1．
分析：（1）给等式a_n+1=2a_n+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{a_n+1}是等比数列，得证；
（2）设数列{a_n+1}的公比为2，根据首项为a₁+1等于2，写出数列{a_n+1}的通项公式，变形后即可得到{a_n}的通项公式．
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．