Question

(本题满分14分)

在梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,A、B是两个定点，其坐

标分别为（0，－1）、（0，1），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|.

(1)求动点C的轨迹E的方程；

(2)试探究在轨迹E上是否存在一点P？使得P到直线y＝x－2的

距离最短；

(3)设轨迹E与直线所围成的图形的

面积为S,试求S的最大值。

其它解法请参照给分。

Answer 1

(1) x²＝4y（x≠0，x≠）   (3)

解析:

(1) 解法1：依题意知，CD⊥AD,且|CD|=|BC|.依抛物线的定义可知点C的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线除去顶点和与直线y＝1的交点。---2分∵|OB|=1  ∴C的轨迹E的方程为x²＝4y（x≠0，x≠）--4分

解法2：设C(x，y)则|CD|=y+1,|CB|=,

又|CD|=|BC|. ，化简得：x²＝4y（x≠0，x≠）

(2)解法1：设P（x，y）是轨迹E上一点，则P到直线y＝x－2的距离

 

       当x＝2时，d取得最小值，这时x＝2，y＝1， ---------------------7分

     即点P(2,1).但由(Ⅰ)知点（2，1）不在轨迹E上，∴在轨迹E上这样的点P不存在。--8分

解法2：所求点即与直线y＝x－2平行的轨迹E的切线与E的切点，

由得， ，∴，

下同解法1。

解法3：设与直线y＝x－2 平行，与抛物线E相切的直线为

x－y＋m＝0，由方程组

  有一解得方程 有两个相等的实根

∴    ∴m＝－1从而得方程组的解为，下同上.

(3)    ∵－2<a<0 ∴ 0<a+2<2

根据图形结合定积分的几何意义可得：

 ----------------------------11分

 ----------------------------13分

当时， ------------- --------------14分